概率的加法法则

用于计算至少一个事件发生的概率

什么是概率的加法规则?

给定多个事件,概率相加规则用于计算至少一个事件发生的概率。概率可以被定义为数学的一个分支,它量化一个事件或一组事件的确定性或不确定性。

相关的概念

在理解加法规则之前,了解几个简单的概念是很重要的:

  • 样本空间它是所有可能事件的集合。例如,当抛硬币时,样本空间是{正面,反面},因为正面和反面是所有可能的结果。
  • 事件:在概率论中,一个事件被定义为一个特定的结果。例如,抛硬币得到正面就是一个事件。
  • 互斥事件它们是这样的事件:如果一个发生了,另一个就不能发生。同样,在硬币的例子中,如果我们得到正面,就不能得到反面。因此,这两个事件是相互排斥的。
  • 相互穷尽事件:包含整个样本空间的事件。在抛硬币的情况下,得到正面和得到反面是相互穷尽的,因为整个样本空间是{正面,反面}。
  • 独立事件:相互独立发生的事件。例如,当抛两枚硬币时,第二枚硬币的结果独立于第一枚硬币的结果。

A和B两个事件发生概率的计算公式为:

概率的加法规则-概率公式

地点:

  • P(a∪b)- A或B发生的概率
  • (一页)-事件A的概率
  • P (B)-事件B的概率
  • P(a∩b)- A和B同时发生的概率

以下维恩图解说明了公式的工作原理和原因:

概率的加法规则-维恩图

如上所示,我们减去P(AB)项,因为当P(A)和P(B)相加时,它会被计算两次。

计算P(A∩B)

如果事件是相互独立的,通过将两个概率P(A)和P(B)相乘,可以很容易地计算出事件A和B同时发生的概率- P(A∩B),如下所示:

如果A和B是独立事件,则:

计算P(A∩B)

如果事件A和B不是相互独立的,则可以从事件的性质推断出其概率,否则就很难确定。

互斥事件

万一互斥事件根据定义,两个事件同时发生的概率为零,因为如果一个事件发生了,另一个事件就不会发生。因此,对于互斥事件A和B,有:

互斥事件-公式

注意互斥事件不是独立的事实,因为如果P(A)和P(B)都是非零概率,那么P(AB) = P(A) * P(B)不可能为零。事实上,根据它们对互斥事件的定义,它们依赖于另一个事件不发生。下图说明了这个概念:

概率的加法规则-互斥事件

数值例子

让我们接着看一个演示这个概念的数值例子。假设A和B两个独立事件,令P(A) = 0.6, P(B) = 0.4。那么P(A∪B)由

  • P(a) = 0.6
  • P(b) = 0.4

P(a∩b) = P(a) * P(b) = 0.6 * 0.4 = 0.24

P (A∪B) = P (A) + P (B) - P (AB) = 0.6 + 0.4 - 0.24 = 0.76

因此,P(A∪B)等于76%

派生规则

概率的加法规则产生了一些其他的规则,这些规则可以用来计算其他的概率。

互斥事件

对于互斥事件,联合概率P(A∪B) = 0。因此,我们得到:

互斥事件-联合概率

两个事件中恰好一个的概率

只需修改加法规则,就可以计算出两个事件中恰好发生一个事件的概率:

两个事件中恰好一个的概率

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